Задачник

по науке числительной

для post-post-graduate students

 1.  Посмотрите на левый столбец и объясните, как выводится ответ в правом столбце

Каждая строка независима от других строк.
Можете ли вы найти закономерность?

Если заело, можете сходить сюда >>>
и посмотреть подсказку

 2.  Про мудрецов

Халиф собрал Совет семи мудрецов и говорит: "Я не раз убеждался в личной мудрости каждого из вас. Теперь я хочу проверить вашу коллективную мудрость".

Мудрецов посадили в круг и на голову им надели колпаки, белые или черные, причем заранее было известно, что не все колпаки одноцветные. Каждый мог видеть колпаки всех остальных, но не мог знать о своем колпаке. Они никоим образом не могли общаться между собой.

"Встаньте, у кого на голове чёрный колпак!" - приказал халиф.
Все остались сидеть.
"Встаньте, у кого на голове чёрный колпак!" - повторил халиф.  – Все продолжали сидеть.
"Встаньте, у кого на голове чёрный колпак!" - снова прозвучал приказ.  – Безуспешно.
"Встаньте, у кого на голове чёрный колпак!" - халиф был настойчив.
И тут мудрецы с чёрными колпаками встали.

Сколько их было, и как они догадались о цвете своих колпаков?

Если бы кто-то из мудрецов не увидел на головах у других ни одного чёрного колпака, то, зная, что хотя бы один чёрный должен быть, он должен был заключить, что таковой на нём, и сразу бы поднялся по приказу халифа.

Значит, дело обстояло сложнее, и мудрецы должны были конгениально (на то они и мудрецы) продумать свои дальнейшие действия.

Может быть, там знают ->>

 3.  Другая задачка про и для мудрых

Халиф собрал большой совет мудрецов из ста человек и поставил условие.

– Сейчас вас выстроят в колонну друг за другом и затем на голову каждому наденут либо черный, либо белый колпак. Вы сможете видеть всех, кто стоит впереди, но не увидите колпаки на себе и на тех, кто сзади. Затем вас по очереди будут спрашивать, какого цвета колпак на вашей голове.
Ответ будет слышен всем, и он должен быть однозначным - "белый" или "черный" - и не нести никакой другой информации.

Вы можете до начала процедуры договориться об очередности опроса и стратегии своих ответов с тем, чтобы в результате получить максимальное количество правильных ответов.

Какое гарантированно правильное число ответов смогли дать сто мудрецов?

Есть вариант:
Каждый стоящий в очереди сообщает впереди стоящему цвет его шапки. Но так как он не может сказать больше ничего, то совпадет или не совпадет его ответ с цветом его шапки - неизвестно.
Гарантировать можно только 50 процентов правильных ответов – маловато будет, если претендовать на звание мудрецов.

Продолжаем разговор -->>

  4.  Наконец, еще одна задачка для мудрейших и умнейших.

Это абсолютно математическая задача.

Стоят мудрецы в бесконечной очереди и видят все, что впереди, а впереди их бесконечно много, а что сзади, не видят и свою шапку не видят, потому не знают её цвет, ну, и про те шапки, что сзади, как сказано, тоже ничего не знают.
А шапки бывают о двух цветов.

Требуется доказать, что у мудрецов есть стратегия такая, что при всякой расстановке цветов шапок они все одновременно угадают цвета своих шапок (общаться запрещено),
кроме лишь только конечного числа мудрецов.

  5.  Как разделить бутылку на троих

Как в точности разделить бутылку на троих,
пользуясь только рычажными весами без гирь и стаканами?

Решение -->>

  6.  Матрица 101 х 100

Матрица из 101 строк х 100 столбцов состоит из нулей и единиц.
В каждом столбце есть хотя бы один нолик.

Доказать, что в матрице найдется такой нолик, что в его строке ноликов больше,
чем число ноликов в его столбце.

"в его" - в этом и есть причина трудности задачи.

В другой формулировке -->> может будет легче для решения

  7.  ПрямоГугольник

Большой прямоугольник составлен из маленьких (их конечное число).
У маленьких прямоугольников высота или ширина (каждому свое) имеют размер 1 метр.

Доказать, что высота или ширина (или обе) большого прямоугольника имеет размер, равный целому числу метров.

для начала -->>

Решение для детей с использованием гигантской шахматной доски.
ширина шахматной клетки 0,5 метра
-->>

  8.   2 х (ле) π

Кубик объемом 0,7 распилили на параллелепипеды.
Их конечное число, а то математики, им делать нечего, могут и на бесконечное число распилить.

Доказать, что хотя бы один из них (параллелепипедов), а другие уж как получится, имеет все ребра иррациональной длины.

Если сначала разобраться с предыдущей задачей, то распиливание иррационального кубика не должно представить больших проблем.

А еще можно ребус в названии поразгадывать

  9.  Сиракузская последовательность

Берём любое натуральное число n.
Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n + 1).
Над полученным числом выполняем те же самые действия.

Доказать, что рано или поздно эта последовательность чисел (называемая также "сиракузской") приведет к единице.

Эта гипотеза Коллатца (Collatz conjecture) отличается своей простой формулировкой.

Задаче почти сто лет, и она до сих пор не решена.

Может вам повезёт найти решение? (ферматистам привет!)