Ребята, помогите!
Толян 11.02.2009 11:21

Препод - стервятник, хочет выгнать меня из политеха. Но говорит, что все зачтет, если я решу задачу:

Доказать, что пи в степени е равно е в степени пи.
Я не могу нигде найти решение. На вас одна надежда. Помогите!

Толян, он тебя валит однозначно.
Спасет тебя только эффектное доказательство того, что пи - алгебраическое число.
Прикинь, корень из двух (1.41) плюс корень из трех (1.73) равно акурат 3.14 - число пи как сумма двух алгебраических чисел, таковым тоже является.

Звери у вас в политехе, просто звери. Ведь чего проще - попросил бы он тебя сравнить е в степени ипи с пи в степени ие. А ты бы ему сразу в лобешник!!! Хотя, ща пойду за калькулем...

И калькулем - в лобешник! В лобешник!!!

Число е также представимо в алгебраическом виде как 8,5 * ((корень из 3) - (корень из 2)).
Остается решить систему относительно (корень из 2) и (корень из 3).

Толян, слушай сюда.
Решать систему относительно корней - это можно, но слишком сложно.
Вот тебе простое и строгое доказательство:

Теорема:  Доказать, что π^e = e^π

Доказательство:

Известно, что число e немного меньше числа π. Выразим π через e как:
π = e(1+x),  где x -- такая ма-а-ахонькая добавка.
Тогда  ln(π) = ln(e(1+x)) = ln(e) + ln(1+x) = 1 + ln(1+x)

Разлагаем ln(1+x) в ряд Тейлора, где для малых x имеем:
ln(1+x) = x

Для политеха это абсолютно железно. Все остальные супермаленькие блошки типа: -х²/2, x³/3... рассматриваются только на мехмате.

Тогда получаем:   ln(π) = 1+ x

Но 1+ x  -- это же π/e,  как было определено вначале.
То есть   ln(π) = π/e  или  e ln(π) = π

Возводим  e  в эти степени:   e^{(e ln(π))} = e^π ,
переписываем левую часть в виде: e^{(e ln(π))} = (e^ln(π))^e ,
подставляем e ^ln(π) = π
и получаем:  π^e = e^π ,
что и требовалось доказать.
 

Толян, с тебя ящик пива!

Демидович.