С вычислением высоты всё казалось простым: подкидываем ботинок до потолка и засекаем время его падения.
А как определить длину и ширину? Возможный вариант, подходящий, правда, не для любого ботинка, пришел в голову позднее. Может кто-то предложит своё решение?

А тогда перед комиссией я с ходу выдал формулу, связывающую размер ботинка с длиной его стельки (то есть длиной ступни).
При этом я заявил, что эту зависимость вывел самостоятельно эмпирическим путем, так как случайно интересовался этим вопросом. Тем самым как бы ненароком проявил свои физико-экспериментальные наклонности и заработал, наверно, дополнительный плюсик в своей абитурской ведомости. (:-)

Слишком высокая погрешность измерения времени полета ботинка, на мой взгляд. Ошибешься с объемом кратно.
Лучше из ботинка сделать маятник с длиной подвеса равной длине, ширине и высоте комнаты. Измеряешь периоды колебаний всех трех случаев и вычисляешь длины подвеса.

А вот дальше (вычисление объема комнаты) уже самые трудности и возникают — прямые ли углы в комнате, надо ещё учитывать объемы ниш, подиумов комнаты, ярусы на потолке, форму и размеры эркера (и вообще есть юридический вопрос — надо ли учитывать эркер в объеме комнаты?)
:-)

Рукоплещу, думаю, что это правильный ответ. И очень остроумный! Шнурки есть, а длина подвеса маятника может быть кратной размерам комнаты, что легко, измерив их в шнурках. Балкон не нужен. Таким образом, объём комнаты будет в шнурках в кубе.
Бросать ботинок к потолку точно очень не точно. Только теоретикам это позволено.

. . .

Хорошо, тогда ботинок подвешиваем за шнурок и по периоду маятника определяем его длину. И уже пользуясь известной метрикой шнурка, обмеряем комнату.
Её высоту измеряем, воспользовавшись подоконником - по определению слова комната, в ней должны быть окно и камин (комната происходит от слова камин - это по-европейски, а по-русски комната - это горница, горн - это тот же камин).

...это окончательно правильное решение, которого и ждали. Я совершенно забыл, что в теоретическом мире существуют малые колебания маятника, и там нет массы ботинка, только 2пи, L и g. Предполагается, что g все более-менее помнят. То есть измеряется длина шнурка и потом шнурком объем комнаты. Плюс у абитура есть ручной калькулятор, хотя тогда они стоили 200 р, то есть более месячной зарплаты рядового инженера.